Correction de l'épreuve de Prob_Stat   _2007

I

1   effectuons une translation de 18h20mn sur l'origine des temps (pour simplifier les calculs) . Alors la partition en classes s'écrit:

horaire -20      -15      -10       -5         0         5        10          15       20

effectif        6        10        15       19       20       14          9           7

la moyenne de cette série statistique=

[ 6*(-17.5)+10*(-12.5)+15*(-7.5)+…..]/100  # 0

d'où la moyenne de la série statistique initiale =  18h20

Variance = 1/99 å (x_n – 20)²  = 89.15       écart type =9.44

D'où Pierre doit modéliser Heure_de_départ_du_bus avec la loi de GAUSS(18h20mn,9.44mn).

Pour simplifier, on considèrera pour la suite la  Loi de GAUSS(18h20mn,10mn);

 

2 

on notera Heure_de_départ_du_bus en abrégé par Départ

              Prob(Départ >18h40 | avec conditions standards)=

Prob( (Départ-18h20)/10  > 2 | avec conditions standards)

posons X=(Départ-18h20)/10       X suit GAUSS réduite

d'où Prob( X > 2) = 0.02 < 0.05   on peut donc rejeter l'hypothèse avec le seuil 0.05 ( les calculs analogues pour seuil=0.01 montrent qu'on ne peut rejeter l'hypothèse avec le seuil 0.01 )

 

3

 Prob(Départ<18h13 )=Prob((Départ-18h20)/10 <- 0.7) =

                                      Prob(X<-0.7) = 0.24

 

4

Y=  (Départ- (18h + Durée_Trajet) ) suit  la loi

Gauss(7 , 10)  car la variance= 100+1 d'où l'écart type # 10

donc  Prob(Départ – (18h + Durée_Trajet) <0 ) =  Prob  (Y<0)

X=(Y- 7)/10 suit GAUSS réduite

Prob  (Y<0)= Prob((Y-7)/10<-0.7) = Prob(X<-0.7) = 0.24

idem que 3 à la précision des calculs prés.

 

II

1     m=485/900=0.54;   s*=0.5;  le rayon de l'intervalle de confiance sera de la forme  r s* où on détermine r avec la condition de seuil, ce qui donne :
pour un seuil=0.05;    30*r=1.96  ; d'où  r=0.065  et  rs*=0.033
intervalle de confiance =  0.506…0.571
pour un seuil=0.01;   30*r=2.58  alors   rs*=0.043;
intervalle de confiance =  0.496…0.582

 

2   des calculs analogues donnent :

seuil  0.05   m=0.543  rs*=0.01
intervalle de confiance  =   0.532…0.554
seuil 0.01  m=0.543 rs*=0.014  intervalle de confiance  0.528…0.557

 

3     ceci montre que l'importance de la taille de l'échantillon est primordiale.